Cho hàm số bậc ba y = f(x) có y = f ( x) đồ thị là đường cong đậm trong hình vẽ và đồ thị

Câu hỏi số 618631:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có y = f ( x) đồ thị là đường cong đậm trong hình vẽ và đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\) có đồ thị là đường cong mảnh như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = g(x) có trục đối xứng là đường thẳn \(x = - \dfrac{1}{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;2].

A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = 1692\).

B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = 198\).

C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = 52\).

D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = 2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618631

Giải chi tiết

Đặt hàm số \(f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px + q\) ta có \(f'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2nx + p\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = 0, x = 2 nên \(f'\left( 0 \right) = f'\left( 2 \right) = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\12m + 4n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\n = - 3m\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = m{x^3} - 3m{x^2} + q\end{array}\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta lại thấy \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + q = 0\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\q = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Ta có \(g\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( c \right) = {c^3} - 3{c^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = 1 \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Do \(c \in \mathbb{Q} \Rightarrow c = 1.\)

Đồ thị hàm số g(x) nhận đường thẳng \(x = - \dfrac{1}{2}\) làm trục đối xứng nên \(g\left( { - 1} \right) = g\left( 0 \right) = 0.\)

Từ g(-1) = 0

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {a - b + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow {\left( {a - b + 1} \right)^3} - 3{\left( {a - b + 1} \right)^2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b + 1 = 1\\a - b + 1 = 1 \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

Do \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\) nên chọn \(a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.\)

Suy ra \(a{x^2} + bx + c = a{x^2} + ax + 1.\)

Lại có \(g\left( { - 2} \right) = 2 \Rightarrow f\left( {2a + 1} \right) = 2\)

\( \Rightarrow {\left( {2a + 1} \right)^3} - 3{\left( {2a + 1} \right)^2} + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a + 1 = 0\\2a + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\a = 1\end{array} \right.\).

Từ đồ thị hàm số f(x) và g(x) suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \).

Vậy chọn a = 1.

Khi đó, \(g\left( x \right) = f\left( {a{x^2} + bx + c} \right) = f\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).

Xét hàm số g(x) trên đoạn [-2;2].

Đặt \(u = {x^2} + x + 1\)

\(\begin{array}{l}u'\left( x \right) = 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 2;2} \right]\\u\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4},\,\,u\left( { - 2} \right) = 3,\,\,u\left( 2 \right) = 7 \Rightarrow u \in \left[ {\dfrac{3}{4};7} \right]\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {\dfrac{3}{4};7} \right]} f\left( x \right) = f\left( 7 \right) = 198.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.