Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với số thực \(x\)a) \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x

Câu hỏi số 619973:

Thông hiểu

Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với số thực \(x\)

a) \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right| \ge 2\) b) \(\left| {x + 4} \right| + \left| {x - 16} \right| \ge 20\) c) \(\left| {x - 11} \right| + \left| {x - 5} \right| \ge 6\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619973

Phương pháp giải

Với mọi số thực \(a,b\) ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

a) \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right| \ge 2\)

Ta có: \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {3 - x} \right| \ge \left| {x - 1 + 3 - x} \right| = \left| 2 \right| = 2\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le x \le 3\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\3 - x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 3\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right| \ge 2,\forall x\) khi và chỉ khi \(1 \le x \le 3\)

b) \(\left| {x + 4} \right| + \left| {x - 16} \right| \ge 20\)

Ta có: \(\left| {x + 4} \right| + \left| {x - 16} \right| = \left| {x + 4} \right| + \left| {16 - x} \right| \ge \left| {x + 4 + 16 - x} \right| = \left| {20} \right| = 20\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x + 4} \right)\left( {16 - x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\16 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x \le 16\end{array} \right. \Rightarrow - 4 \le x \le 16\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \le 0\\16 - x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 4\\x \ge 16\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \(\left| {x + 4} \right| + \left| {x - 16} \right| \ge 20,\forall x\) khi và chỉ khi \( - 4 \le x \le 16\)

c) \(\left| {x - 11} \right| + \left| {x - 5} \right| \ge 6\)

Ta có: \(\left| {x - 11} \right| + \left| {x - 5} \right| = \left| {11 - x} \right| + \left| {x - 5} \right| \ge \left| {11 - x + x - 5} \right| = \left| 6 \right| = 6\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {11 - x} \right)\left( {x - 5} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}11 - x \ge 0\\x - 5 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 11\\x \ge 5\end{array} \right. \Rightarrow 5 \le x \le 11\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}11 - x \le 0\\x - 5 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 11\\x \le 5\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \(\left| {x - 11} \right| + \left| {x - 5} \right| \ge 6,\forall x\) khi và chỉ khi \(5 \le x \le 11\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link