Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với số thực \(x\)a) \(\left| {2x + 1} \right| + \left|

Câu hỏi số 619974:

Thông hiểu

Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với số thực \(x\)

a) \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 3} \right| \ge 4\) b) \(4\left| {x - 1} \right| + \left| {4x + 12} \right| \ge 16\) c) \(5\left| {x + 3} \right| + \left| {5x - 13} \right| \ge 28\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619974

Phương pháp giải

Với mọi số thực \(a,b\) ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

a) \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 3} \right| \ge 4\)

Ta có: \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 3} \right| = \left| {2x + 1} \right| + \left| {3 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 1 + 3 - 2x} \right| = \left| 4 \right| = 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3 - 2x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\3 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{2}\\x \le \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \le 0\\3 - 2x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{1}{2}\\x \ge \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \(\left| {2x + 1} \right| + \left| {2x - 3} \right| \ge 4,\forall x\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}\)

b) \(4\left| {x - 1} \right| + \left| {4x + 12} \right| \ge 16\)\( \Leftrightarrow \left| {4x - 4} \right| + \left| {4x + 12} \right| \ge 16\)

Ta có: \(\left| {4x - 4} \right| + \left| {4x + 12} \right| = \left| {4 - 4x} \right| + \left| {4x + 12} \right| \ge \left| {4 - 4x + 4x + 12} \right| = \left| {16} \right| = 16\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {4 - 4x} \right)\left( {4x + 12} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - 4x \ge 0\\4x + 12 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge - 3\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 1\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - 4x \le 0\\4x + 12 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \(4\left| {x - 1} \right| + \left| {4x + 12} \right| \ge 16,\forall x\) khi và chỉ khi \( - 3 \le x \le 1\)

c) \(5\left| {x + 3} \right| + \left| {5x - 13} \right| \ge 28\)\( \Leftrightarrow \left| {5x + 15} \right| + \left| {5x - 13} \right| \ge 28\)

Ta có: \(\left| {5x + 15} \right| + \left| {5x - 13} \right| = \left| {5x + 15} \right| + \left| {13 - 5x} \right| \ge \left| {5x + 15 + 13 - 5x} \right| = \left| {28} \right| = 28\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {5x + 15} \right)\left( {13 - 5x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 15 \ge 0\\13 - 5x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le \dfrac{{13}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le \dfrac{{13}}{5}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 15 \le 0\\13 - 5x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 3\\x \ge \dfrac{{13}}{5}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \(5\left| {x + 3} \right| + \left| {5x - 13} \right| \ge 28,\forall x\) khi và chỉ khi \( - 3 \le x \le \dfrac{{13}}{5}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link