Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{ax + b - \sqrt {2x + 5} }}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = L\)

Câu hỏi số 620328:

Vận dụng

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{ax + b - \sqrt {2x + 5} }}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = L\) với L là một số thực. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(a + b = 4\).

B. \({a^2} + {b^2} = 11\).

C. \(2a + b = 3\).

D. \( - 2a + b = - 2\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620328

Phương pháp giải

Để giới hạn là hữu hạn => Giới hạn dạng vô định 0/0.

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

Giải chi tiết

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{ax + b - \sqrt {2x + 5} }}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = L\) hữu hạn \( \Rightarrow \) Phương trình \(ax + b - \sqrt {2x + 5} = 0\) có nghiệm \(x = - 2\).

\( \Rightarrow - 2a + b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{ax + b - \sqrt {2x + 5} }}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^2} - \left( {2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left[ {ax + b + \sqrt {2x + 5} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{a^2}{x^2} + \left( {2ab - 2} \right)x + {b^2} - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left[ {ax + b + \sqrt {2x + 5} } \right]}}\end{array}\)

Để giới hạn trên là hữu hạn thì phương trình \({a^2}{x^2} + \left( {2ab - 2} \right)x + {b^2} - 5 = 0\) có nghiệm kép \(x = - 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = {\left( {ab - 1} \right)^2} - {a^2}\left( {{b^2} - 5} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\{a^2}{b^2} - 2ab + 1 - {a^2}{b^2} + 5{a^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\5{a^2} - 2ab + 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(b = 2a + 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\5{a^2} - 2a\left( {2a + 1} \right) + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\{a^2} - 2a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 3.\end{array}\)

Vậy \(a + b = 4\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.