Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác

Câu hỏi số 620335:

Vận dụng

Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\sqrt 2 \). Biết BC là một dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy nón một góc \({60^0}\). Tính diện tích tam giác SBC.

A. \(\dfrac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{9}\).

B. \(\dfrac{{4{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\dfrac{{4{a^2}\sqrt 2 }}{9}\).

D. \(\dfrac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620335

Phương pháp giải

Từ thiết diện qua trục tìm độ dài SO.

Gọi H là trung điểm BC. Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến, xác định góc giữa (SBC) và mặt đáy.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SH, OH.

Sử dụng định lí Pytago tính BH và suy ra BC.

Tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}BH.SH\).

Giải chi tiết

Gọi thiết diện qua trục là tam giác SAB \( \Rightarrow AB = 2a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}AB = a\sqrt 2 \).

Gọi H là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).

\( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left( {SH,OH} \right) = \angle SHO = {60^0}\).

Xét tam giác vuông SOH: \(OH = SO.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago: \(BH = \sqrt {B{O^2} - O{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Lại có: \(SH = \dfrac{{SO}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}BH.SH = \dfrac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.