Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn điều kiện \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log

Câu hỏi số 620338:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn điều kiện \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} - 2\) và \(x \le 2023\)?

A. 2.

B. 4040.

C. 3780.

D. 3776.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620338

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}3\left( {{9^y} + 2y} \right) \le x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} - 2\\ \Leftrightarrow 3\left( {{3^{2y}} + 2y} \right) \le x + 1 + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right) - 3\\ \Leftrightarrow 3\left( {{3^{2y}} + 2y} \right) \le {3^{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right) - 3\\ \Leftrightarrow {3^{2y}} + 2y \le {3^{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) - 1}} + {\log _3}\left( {x + 1} \right) - 1\end{array}\)

Xét hàm đặc trung \(f\left( t \right) = {3^t} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 1 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow f\left( {2y} \right) \le f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) - 1} \right) \Leftrightarrow 2y \le {\log _3}\left( {x + 1} \right) - 1\).

Theo giả thiết \(x \le 2023 \Rightarrow 2y \le {\log _3}2024 - 1 \Leftrightarrow y \le \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2024 - 1} \right)\).

Mà y là số nguyên dương \( \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+ Với \(y = 1 \Rightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) \ge 3 \Leftrightarrow x + 1 \ge 27 \Leftrightarrow x \ge 26\).

Kết hợp \(x \le 2023,\,\,x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x \in \left\{ {26;27;...;2023} \right\}\).

=> Có 1998 cặp số (x;y) thoả mãn).

+ Với \(y = 2 \Rightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) \ge 5 \Leftrightarrow x + 1 \ge 243 \Leftrightarrow x \ge 242\).

Kết hợp \(x \le 2023,\,\,x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x \in \left\{ {242;243;...;2023} \right\}\).

=> Có 1782 cặp số (x;y) thoả mãn).

Vậy có 1998 + 1782 = 3780 cặp số (x;y) thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.