Cho phương trình \({\log _{\sqrt[3]{2}}}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 4} \right) + {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x -

Câu hỏi số 620340:

Vận dụng

Cho phương trình \({\log _{\sqrt[3]{2}}}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 4} \right) + {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) + 8 = {2^m} + 3m\) (m là tham số). Tìm số giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc \(\left[ { - 2;4} \right)\)?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620340

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐK: \({x^3} + 3{x^2} + 4 > 0.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt[3]{2}}}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 4} \right) + {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) + 8 = {2^m} + 3m\\ \Leftrightarrow 3{\log _2}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 4} \right) + \left( {{x^3} + 3{x^2} + 4} \right) + 8 = 3{\log _2}{2^m} + {2^m}\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = 3{\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {{x^3} + 3{x^2} + 4} \right) = f\left( {{2^m}} \right) \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 4 = {2^m}\).

Đặt \(g\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 4\) ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\).

BBT hàm số g(x) trên [-2;4):

Từ BBT suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc [-2;4) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^m} = 4\\8 < {2^m} < 116\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\3 < m < {\log _\,}116\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;4;5;6} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.