Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi s không quá 242 số nguyên y thoả mãn \({\log _4}\left(

Câu hỏi số 620344:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi s không quá 242 số nguyên y thoả mãn \({\log _4}\left( {2{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\)?

A. 21.

B. 40.

C. 20.

D. 39.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620344

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + y > 0\\x + y > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _4}\left( {2{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + y \ge {4^{{{\log }_3}\left( {x + y} \right)}}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + y \ge {\left( {x + y} \right)^{{{\log }_3}4}}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

ĐK: \(x + y \ge 1\,\,\left( {do\,\,x,y \in \mathbb{Z},\,\,x + y > 0} \right)\).

Đặt \(t = x + y\,\,\left( {t \ge 1} \right)\). Ta được \(2{x^2} + t - x \ge {t^{{{\log }_3}4}} \Leftrightarrow 2{x^2} - x \ge {t^{{{\log }_3}4}} - t\,\,\left( 2 \right)\).

Để (1) không có quá 242 nghiệm nguyên thì (2) không quá 242 nghiệm nguyên dương t.

Đặt \(f\left( t \right) = {t^{{{\log }_3}4}} - t\) ta có \(f'\left( t \right) = {\log _3}4.{t^{{{\log }_3}4 - 1}} - 1 > 0\,\,\forall t > 1\).

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

=> (2) có không quá 242 nghiệm nguyên dương

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {{t_1}} \right) \le 242 \Leftrightarrow 2{x^2} - x \le {242^{{{\log }_3}4}} - 242\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - {242^{{{\log }_3}4}} + 242 \le 0\\ \Leftrightarrow - 19,5 \le x \le 19,96\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có 39 giá trị nguyên x thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.