Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right),\,\,\left( {O';R} \right);\,\,AB\) là một

Câu hỏi số 620809:

Vận dụng

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right),\,\,\left( {O';R} \right);\,\,AB\) là một dây cung của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) sao cho tam giác \(O'AB\) đều và mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) một góc \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối trụ đã cho.

A. \(V = \dfrac{{\pi \sqrt 5 {R^3}}}{5}\).

B. \(V = \dfrac{{3\pi \sqrt 5 {R^3}}}{5}\).

C. \(V = \dfrac{{3\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}\).

D. \(V = \dfrac{{\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620809

Phương pháp giải

- Dựng góc giữa mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

- Tính \(O'O\)

- Tính thể tích của khối trụ

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)

Khi đó \(O'I \bot AB,\,\,OI \bot AB\)

Do đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) là \(\angle O'IO\)

Theo giả thiết \(\angle O'IO = {60^0}\)

Đặt \(AI = x \Rightarrow AB = 2x\)

Tam giác \(OIA\) vuông có \(OA = R,\,\,AI = x \Rightarrow OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \)

Tam giác \(O'AB\) đều cạnh \(AB = 2x \Rightarrow O'I = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \)

Tam giác \(O'OI\) vuông tại \(O\) nên \(\cos {60^0} = \dfrac{{OI}}{{O'I}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{x\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 7 }}\)

Suy ra \(O'O = O'I\sin {60^0} = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 7 }}.\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\)

Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.