Cho hàm số đa thức $y = f\left( x \right)$ có $f(0)=-1$ và đồ thị hàm số

Câu hỏi số 620810:

Vận dụng

Cho hàm số đa thức $y = f\left( x \right)$ có $f(0)=-1$ và đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( {\left| {f\left( x \right) - 3} \right|} \right)$ là

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 10.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620810

Phương pháp giải

- Giải phương trình $y' = 0$

- Số nghiệm phân biệt của $y' = 0$ là số điểm cực trị của hàm số

Giải chi tiết

g'(x) = \frac{f(x) - 3}{|f(x) - 3|} \cdot f'(x) \cdot f'(|f(x) - 3|)

g'(x) = \frac{f(x) - 3}{|f(x) - 3|} \cdot f'(x) \cdot f'(|f(x) - 3|)

Hàm số đạt cực trị tại các điểm làm cho $g'(x) = 0$ hoặc $g'(x)$ không xác định (và đạo hàm đổi dấu).

Trường hợp 1: Các điểm làm $g'(x)$ không xác định

$g'(x)$ không xác định $\Leftrightarrow f(x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f(x) = 3$.

Vì $3 > -1$ (giá trị cực đại), nên đường thẳng $y = 3$ cắt đồ thị $f(x)$ tại 2 điểm phân biệt. (Tại 2 điểm này $g'(x)$ đổi dấu nên ta có 2 cực trị).

Trường hợp 2: Các điểm làm $g'(x) = 0$

g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f'(x) = 0 \quad (1) \\ f'(|f(x) - 3|) = 0 \quad (2) \end{array} \right.

Giải phương trình (1): $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{-1; 0; 3\}$. Ta thu được 3 điểm cực trị. (Chú ý: tại các điểm này $f(x) \le -1$ nên không trùng với 2 nghiệm ở TH1).

Giải phương trình (2): Dựa vào đồ thị $f'(x)$, ta có $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t \in \{-1; 0; 3\}$. Áp dụng vào:

f'(|f(x) - 3|) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |f(x) - 3| = -1 \text{ (Vô nghiệm do } |A| \ge 0) \\ |f(x) - 3| = 0 \Leftrightarrow f(x) = 3 \text{ (Đã đếm ở TH1)} \\ |f(x) - 3| = 3 \quad (*) \end{array} \right.

Giải phương trình (*):

|f(x) - 3| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) - 3 = 3 \\ f(x) - 3 = -3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 6 \\ f(x) = 0 \end{array} \right.

|f(x) - 3| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) - 3 = 3 \\ f(x) - 3 = -3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 6 \\ f(x) = 0 \end{array} \right.

Vì $0 > -1$ nên phương trình $f(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

(Rõ ràng 4 nghiệm này hoàn toàn khác nhau và khác với các nghiệm đã tìm ở trên do giao cắt với các đường thẳng khác nhau).

Vậy hàm số có 9 cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.