Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt \(OAB\) và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh \(O\) không có đáy \(\left( {OA \equiv OB} \right)\). Tìm số đo góc ở tâm của mảng tôn cắt bỏ để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.

Câu 620811: Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt \(OAB\) và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh \(O\) không có đáy \(\left( {OA \equiv OB} \right)\). Tìm số đo góc ở tâm của mảng tôn cắt bỏ để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.

A. \(\dfrac{{2\sqrt 6 \pi }}{3}\).

B. \(\left( {2 - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\pi \).

C. \(\left( {2 - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\pi \).

D. \(\dfrac{{\sqrt 6 \pi }}{3}\).

Câu hỏi : 620811

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Lập hàm tính thể tích khối nón, tìm bán kính đường tròn đáy hình tròn khi thể tích nón lớn nhất

- Tính diện tích bị cắt

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2}\)
Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là \(r\,\,\left( {0 < r < R} \right)\)
Gọi diện tích bị cắt là \({S_1}\)
Khi đó \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = \dfrac{2}{3}\pi \sqrt {\dfrac{{{r^2}}}{2}.\dfrac{{{r^2}}}{2}.\left( {{R^2} - {r^2}} \right)} \le \dfrac{2}{3}\pi {\left( {\dfrac{{\dfrac{{{r^2}}}{2} + \dfrac{{{r^2}}}{2} + {R^2} - {r^2}}}{3}} \right)^{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{{2\pi {R^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(r = \dfrac{{R\sqrt 6 }}{3}\)
Khi đó \({S_{xq}} = \pi rR = \dfrac{{\pi {R^2}\sqrt 6 }}{3}\)
Do đó diện tích bị cắt \({S_1} = \pi {R^2} - \dfrac{{\pi {R^2}\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{3 - \sqrt 6 }}{3}\pi {R^2}\).
Vậy góc ở tâm là \(2\pi \left( {\dfrac{{3 - \sqrt 6 }}{3}} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.