Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác SAB đều và nẳm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,T\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA,\,\,SB,\,\,SC\). Tính thể tích của khối đa diện \(MNPQRT\).

Câu 620812: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác SAB đều và nẳm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,T\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA,\,\,SB,\,\,SC\). Tính thể tích của khối đa diện \(MNPQRT\).

A. \(\dfrac{{5{a^3}}}{{16}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\).

C. \(\dfrac{{5{a^3}}}{{96}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

Câu hỏi : 620812

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Khối đa diện \(MNPQRT\) bao gồm RMNQ, TNPQ và RNTQ.

- Tính thể tích của từng phần rồi cộng lại.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Khối đa diện \(MNPQRT\) bao gồm hình chóp TNPQ; RMNQ và RTNQ.
Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \(R\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow d\left( {R,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}SM\)
Mà \(SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow d\left( {R,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Lại có: \({S_{MNQ}} = \dfrac{1}{2}MN.MQ = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)
Do đó \({V_{RMNQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {R,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{MNQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} = {V_{TLPQ}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)
Do đó \( \Rightarrow BNTR\) là hình chữ nhật
\({S_{NTR}} = \dfrac{1}{2}RT.NT = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\)
Kẻ \(ME \bot SB \Rightarrow ME \bot \left( {SBC} \right)\)
Vì \(AQ\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {Q,\left( {SBC} \right)} \right) = 2ME\)
Ta có: \(ME = MB\sin {60^0} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{QRNT}} = \dfrac{1}{3}d\left( {Q,\left( {SBC} \right)} \right).{S_{RNT}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{8} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\)
Vậy thể tích khối đa diện \(MNPQRT\) là \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} + \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} + \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.