Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác SAB đều và nẳm trong mặt
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác SAB đều và nẳm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,T\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA,\,\,SB,\,\,SC\). Tính thể tích của khối đa diện \(MNPQRT\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Khối đa diện \(MNPQRT\) bao gồm RMNQ, TNPQ và RNTQ.
- Tính thể tích của từng phần rồi cộng lại.
Khối đa diện \(MNPQRT\) bao gồm hình chóp TNPQ; RMNQ và RTNQ.
Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \(R\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow d\left( {R,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}SM\)
Mà \(SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow d\left( {R,\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Lại có: \({S_{MNQ}} = \dfrac{1}{2}MN.MQ = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)
Do đó \({V_{RMNQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {R,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{MNQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} = {V_{TLPQ}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)
Do đó \( \Rightarrow BNTR\) là hình chữ nhật
\({S_{NTR}} = \dfrac{1}{2}RT.NT = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\)
Kẻ \(ME \bot SB \Rightarrow ME \bot \left( {SBC} \right)\)
Vì \(AQ\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {Q,\left( {SBC} \right)} \right) = 2ME\)
Ta có: \(ME = MB\sin {60^0} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{QRNT}} = \dfrac{1}{3}d\left( {Q,\left( {SBC} \right)} \right).{S_{RNT}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{8} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\)
Vậy thể tích khối đa diện \(MNPQRT\) là \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} + \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} + \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
