Cho hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\), có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 6.\)

Câu 621144: Cho hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\), có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 6.\)

A. \(m = - 1 + \sqrt 2 ,\,\,m = - 1 - \sqrt 2 \).

B. \(m = - 1 - \sqrt 2 \).

C. \(m = 1 - \sqrt 2 ,\,\,m = 1 + \sqrt 2 \).

D. \(m = - 1 + \sqrt 2 \).

Câu hỏi : 621144

Phương pháp giải:

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Áp dụng định lí Vi-ét.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\\ \Rightarrow y' = - m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - m = 0\end{array}\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Áp dụng định lí Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 6.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2}}} - 2 = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2}}} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 2{m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 2{m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1 + \sqrt 2 \\m = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.