Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\). Gọi

Câu hỏi số 621502:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {57} a}}{{19}}\).

C. \(\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621502

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tỉ số khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: \(AB \cap \left( \alpha \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)}} = \dfrac{{AM}}{{BM}}\).

Giải chi tiết

Gọi I là giao điểm của AM và A’C.

Ta có: \(\dfrac{{d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MI}}{{AI}} = \dfrac{{MC}}{{AA'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)\).

Dựng AN vuông BC tại N, AH vuông A’N tại H.

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).

Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác AA’N vuông tại A, đường cao AH

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{{A'}^2}}} + \dfrac{1}{{A{N^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }}a\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }}a = \)\(\dfrac{{\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.