Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như

Câu hỏi số 621512:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({2^{f\left( x \right) + \frac{4}{{f\left( x \right)}}}} + {\log _2}\left[ {{f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) + 5} \right] = m\) có đúng hai nghiệm phân biệt bằng

A. \(50\).

B. \(83\).

C. \(34\).

D. \(67\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621512

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp ghép trục.

Giải chi tiết

Đặt \(u = f\left( x \right) \in \left[ {1;4} \right]\). Xét hàm số \(g\left( u \right) = {2^{u + \frac{4}{u}}} + {\log _2}\left[ {{u^2} - 4u + 5} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( u \right) = \left( {1 - \frac{4}{{{u^2}}}} \right){2^{u + \frac{4}{u}}}.\ln 2 + \dfrac{{2u - 4}}{{{u^2} - 4u + 5}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{u^2} - 4}}{{{u^2}}}{.2^{u + \frac{4}{u}}}.\ln 2 + \dfrac{{2u - 4}}{{{u^2} - 4u + 5}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {u - 2} \right)\left[ {\dfrac{{u + 2}}{{{u^2}}}{{.2}^{u + \frac{4}{u}}}.\ln 2 + \dfrac{2}{{{u^2} - 4u + 5}}} \right]\end{array}\)

\(g'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u = 2\) (do \(\dfrac{{u + 2}}{{{u^2}}}{.2^{u + \dfrac{4}{u}}}.\ln 2 + \dfrac{2}{{{u^2} - 4u + 5}} > 0,\forall u \in \left[ {1;4} \right]\)).

Ta có bảng sau:

\(g\left( 2 \right) = {2^4} = 16\); \(g\left( 4 \right) = 32 + {\log _2}5 \approx 34,3\); \(g\left( 1 \right) = 33\); \(g\left( 3 \right) = {2^{\frac{{13}}{3}}} + 1 \approx 21\)

Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thì: \(\left[ \begin{array}{l}33 < m < 32 + {\log _2}5\\m = 16\end{array} \right.\).

Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {16;34} \right\}\).

Tổng 2 giá trị trên là 50.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.