Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết rằng (H) có một tiêu điểm là \({F_2}\left( {5;0}

Câu hỏi số 622354:

Vận dụng cao

Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết rằng (H) có một tiêu điểm là \({F_2}\left( {5;0} \right)\) và (H) đi qua điểm A(-3;0). Tìm điểm M thuộc (H) có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ M đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:622354

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó a > 0, b > 0.

Dựa vào các giả thiết tìm a, b và suy ra phương trình chính tắc của (H).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)\). Thay toạ độ điểm M vào (H) và đánh giá \({x_0}\).

Tính OM và đánh giá.

Giải chi tiết

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó a > 0, b > 0.

+ \(A\left( { - 3;0} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} - \dfrac{0}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow a = 3.\)

+ (H) có một tiêu điểm \({F_2}\left( {5;0} \right)\) => c = 5

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {5^2} - {3^2} = 16.\)

=> Phương trình chính tắc của hypebol là \(\left( H \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right) \Rightarrow \dfrac{{x_0^2}}{9} - \dfrac{{y_0^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x_0^2}}{9} = 1 + \dfrac{{y_0^2}}{{16}} \ge 1 \Leftrightarrow x_0^2 \ge 9\).

Kết hợp điều kiện \({x_0} > 3\) ta suy ra \({x_0} \ge 3\).

Ta có \(OM = \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \ge \sqrt {x_0^2} = {x_0} \ge 3.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0} \right)\).

Vậy M(3;0).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.