Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết rằng (H) có một tiêu điểm là \({F_2}\left( {5;0}

Câu hỏi số 622354:

Vận dụng cao

Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết rằng (H) có một tiêu điểm là \({F_2}\left( {5;0} \right)\) và (H) đi qua điểm A(-3;0). Tìm điểm M thuộc (H) có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ M đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:622354

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó a > 0, b > 0.

Dựa vào các giả thiết tìm a, b và suy ra phương trình chính tắc của (H).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)\). Thay toạ độ điểm M vào (H) và đánh giá \({x_0}\).

Tính OM và đánh giá.

Giải chi tiết

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó a > 0, b > 0.

+ \(A\left( { - 3;0} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} - \dfrac{0}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow a = 3.\)

+ (H) có một tiêu điểm \({F_2}\left( {5;0} \right)\) => c = 5

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {5^2} - {3^2} = 16.\)

=> Phương trình chính tắc của hypebol là \(\left( H \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right) \Rightarrow \dfrac{{x_0^2}}{9} - \dfrac{{y_0^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x_0^2}}{9} = 1 + \dfrac{{y_0^2}}{{16}} \ge 1 \Leftrightarrow x_0^2 \ge 9\).

Kết hợp điều kiện \({x_0} > 3\) ta suy ra \({x_0} \ge 3\).

Ta có \(OM = \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \ge \sqrt {x_0^2} = {x_0} \ge 3.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0} \right)\).

Vậy M(3;0).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10