Gọi \(S\) là tập tất cả các số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất một số
Gọi \(S\) là tập tất cả các số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất một số thực b thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{a^{{{\log }_3}8}} + {2^{{{\log }_3}a}} = \left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)\left( {3 + b\sqrt {4 - {b^2}} } \right)\). Tổng số phần tử của S bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
ĐKXĐ: \(a > 0,\,\, - 2 \le b \le 2\).
Nhận xét: \({\left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)^2} = {b^2} + 2b\sqrt {4 - {b^2}} + 4 - {b^2} = 4 + 2b\sqrt {4 - {b^2}} \).
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{a^{{{\log }_3}8}} + {2^{{{\log }_3}a}} = \left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)\left( {3 + b\sqrt {4 - {b^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow {a^{{{\log }_3}8}} + {2.2^{{{\log }_3}a}} = \left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)\left( {6 + 2b\sqrt {4 - {b^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^{{{\log }_3}a}}} \right)^3} + {2.2^{{{\log }_3}a}} = \left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)\left( {4 + 2b\sqrt {4 - {b^2}} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^{{{\log }_3}a}}} \right)^3} + {2.2^{{{\log }_3}a}} = \left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)\left( {{{\left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)}^2} + 2} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{2^{{{\log }_3}a}}} \right)^3} + {2.2^{{{\log }_3}a}} = {\left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)^3} + 2\left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right)\). (*)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\), có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 2 > 0,\forall t \Rightarrow \)Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow f\left( {{2^{{{\log }_3}a}}} \right) = f\left( {b + \sqrt {4 - {b^2}} } \right) \Leftrightarrow {2^{{{\log }_3}a}} = b + \sqrt {4 - {b^2}} \) (2*)
Xét hàm số \(g\left( b \right) = b + \sqrt {4 - {b^2}} \) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) có: \(g'\left( b \right) = 1 - \dfrac{b}{{\sqrt {4 - {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {4 - {b^2}} - b}}{{\sqrt {4 - {b^2}} }}\).
\(g'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {b^2}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ge 0\\4 - {b^2} = {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow b = \sqrt 2 \).
Ta có bảng sau:
Để (2*) có nghiệm thì \( - 2 \le {2^{{{\log }_3}a}} \le 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {\log _3}a \le \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow a \le {3^{\dfrac{3}{2}}} \approx 5,2\).
Mà a là số nguyên dương \( \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
Tổng các giá trị của a là: 15.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
