Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x +

Câu hỏi số 623080:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} < {x^2} - 5x + 2 - m\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623080

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của bất phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} > 0\\2{x^2} - x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 3{x^2} - 3x - 1\).

Bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} < {x^2} - 5x + 2 - m\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R} \Rightarrow \) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \)\(m > - 3{x^2} - 3x - 1\) luôn đúng với mọi x.

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = - 3{x^2} - 3x - 1\):

\( \Rightarrow m > - \dfrac{1}{4}\). (1)

Phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} < {x^2} - 5x + 2 - m\).

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) - {\log _2}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) < {x^2} - 5x + 2 - m\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) + 3{x^2} + 3x + m + 1 < {\log _2}\left( {4{x^2} - 2x + 2} \right) + 4{x^2} - 2x + 2\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t,\, > 0\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0 \Rightarrow y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow f\left( {3{x^2} + 3x + m + 1} \right) < f\left( {4{x^2} - 2x + 2} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + m + 1 < 4{x^2} - 2x + 2\)\( \Leftrightarrow m < {x^2} - 5x + 1\) (2*)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} - 5x + 1\):

Bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{3{x^2} + 3x + m + 1}}{{2{x^2} - x + 1}} < {x^2} - 5x + 2 - m\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R} \Rightarrow \)(2*) luôn đúng với mọi x.

\( \Leftrightarrow m < - \dfrac{{21}}{4}\) (2).

Kết hợp (1) và (2) suy ra: \(m \in \emptyset \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.