Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) có bán

Câu hỏi số 623097:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) có bán kính bằng 4 và mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {2;1;5} \right)\) có bán kính bằng 2. \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\). Đặt \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(O\) đến \(\left( P \right)\). Giá trị \(M + m\) bằng

A. \(8\sqrt 3 \).

B. \(9\).

C. \(8\).

D. \(\sqrt {15} \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623097

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).

Giải chi tiết

\(\overrightarrow {IJ} = \left( {0;0;4} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {0 + 0 + {4^2}} = 4 \Rightarrow {R_1} - {R_2} < IJ < {R_1} + {R_2}\,\, \Rightarrow \) Hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của đường thẳng IJ và \(\left( P \right)\). Khi đó, I là trung điểm của MJ \( \Rightarrow M\left( {2;1;9} \right)\).

Gọi A, B là lần lượt là tiếp điểm của (P) với \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) \( \Rightarrow \angle IMA = {30^0}\,\,\left( {do\,\,\sin M = \dfrac{{AI}}{{MI}} = \dfrac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \left( P \right)\) là mặt phẳng qua M và tạo với IJ một góc \({30^0}\).

Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là 1 vectơ pháp tuyến của (P)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {IJ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {IJ} } \right|}} = \sin {30^0} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .4}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| c \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3{c^2} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{c}} \right)^2} = 3\end{array}\)

Phương trình mp (P): \(a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + cz - 2a - b - 9c = 0\).

Khoảng cách từ O đến (P) là: \(d = \dfrac{{\left| { - 2a - b - 9c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{2\left| c \right|}} = \dfrac{1}{2}.\left| {2.\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + 9} \right|\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2.\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{a}{c}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{c}} \right)}^2}} \right) = 15\\ \Rightarrow - \sqrt {15} \le 2.\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} \le \sqrt {15} \\ \Rightarrow - \sqrt {15} + 9 \le 2.\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} \le \sqrt {15} + 9\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ - \sqrt {15} + 9}}{2} \le d \le \dfrac{{\sqrt {15} + 9}}{2}\,\).

\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow M = \dfrac{{\sqrt {15} + 9}}{2},m = \dfrac{{ - \sqrt {15} + 9}}{2}\\ \Rightarrow M + m = 9\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.