Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;-2;1), B(3;2;-1) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y +

Câu hỏi số 623114:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;-2;1), B(3;2;-1) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 2z - 5 = 0\). Xét \(M\) là điểm thay đổi thuộc \(\left( \alpha \right)\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 3M{A^2} + 2M{B^2}\).

A. \(\dfrac{{440}}{9}\).

B. \(\dfrac{{728}}{{15}}\).

C. \(\dfrac{{821}}{{15}}\).

D. \(\dfrac{{119}}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623114

Phương pháp giải

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Biểu diễn biểu thức P theo MI.

\({P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I lên \(\left( \alpha \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

\( \Rightarrow I = \dfrac{{3A + 2B}}{{3 + 2}} = \left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}P = 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 3M{I^2} + 6.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 3I{A^2} + 2M{I^2} + 4.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 2I{B^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}\end{array}\)

Do I, A, B cố định nên \(3I{A^2} + 2I{B^2}\) không đổi

\( \Rightarrow {P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{3}{5} - 2.\dfrac{{ - 2}}{5} + 2.\dfrac{1}{5} - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{16}}{5}}}{3} = \dfrac{{16}}{{15}}\).

Mà \(I{A^2} = {\left( {\dfrac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} = \dfrac{{144}}{{25}},I{B^2} = {\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{12}}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^2} = \dfrac{{324}}{{25}}\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 5.{\left( {\dfrac{{16}}{{15}}} \right)^2} + 3.\dfrac{{144}}{{25}} + 2.\dfrac{{324}}{{15}} = \dfrac{{440}}{9}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.