Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(-1;2;0), B(0;0;-2), C(1;0;1), D(2;1;-1). Hai điểm M, N lần lượt

Câu hỏi số 623113:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(-1;2;0), B(0;0;-2), C(1;0;1), D(2;1;-1). Hai điểm M, N lần lượt trên các đoạn BC và BD sao cho \(2\dfrac{{BC}}{{BM}} + 3\dfrac{{BD}}{{BN}} = 10\) và \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{6}{{25}}\). Phương trình mặt phẳng (AMN) có dạng \(ax + by + cz + 32 = 0\). Tính S = a – b + c?

A. \(S = 98\).

B. \(S = 26\).

C. \(S = 97\).

D. \(S = 27\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623113

Phương pháp giải

\(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{6}{{25}} \Rightarrow \dfrac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{BCD}}}} = \dfrac{6}{{25}} \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{BC}}.\dfrac{{BN}}{{BD}} = \dfrac{6}{{25}}\).

Giải hệ phương trình, tìm \(\dfrac{{BM}}{{BC}},\dfrac{{BN}}{{BD}}\), từ đó suy ra tọa độ M,N.

Thay tọa độ A, M, N vào phương trình \(ax + by + cz + 32 = 0\).

Giải hpt tìm a, b, c.

Tính S.

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{6}{{25}} \Rightarrow \dfrac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{BCD}}}} = \dfrac{6}{{25}} \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{BC}}.\dfrac{{BN}}{{BD}} = \dfrac{6}{{25}} \Rightarrow \)\(\dfrac{{BC}}{{BM}}.\dfrac{{BD}}{{BN}} = \dfrac{{25}}{6} \Rightarrow 2\dfrac{{BC}}{{BM}}.3\dfrac{{BD}}{{BN}} = 25\).

Mà \(2\dfrac{{BC}}{{BM}} + 3\dfrac{{BD}}{{BN}} = 10 \Rightarrow 2\dfrac{{BC}}{{BM}}\) và \(3\dfrac{{BD}}{{BN}}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 10X + 25 = 0 \Leftrightarrow X = 5\).

\( \Rightarrow 2\dfrac{{BC}}{{BM}} = 3\dfrac{{BD}}{{BN}} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{2}{5}\\\dfrac{{BN}}{{BD}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BM} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BN} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {BD} \end{array} \right.\).

\(\overrightarrow {BM} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 0 = \dfrac{2}{5}.\left( {1 - 0} \right)\\{y_M} - 0 = \dfrac{2}{5}.\left( {0 - 0} \right)\\{z_M} + 2 = \dfrac{2}{5}.\left( {1 + 2} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow M\left( {\dfrac{2}{5};0; - \dfrac{4}{5}} \right)\).

\(\overrightarrow {BN} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {BD} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - 0 = \dfrac{3}{5}.\left( {2 - 0} \right)\\{y_N} - 0 = \dfrac{3}{5}.\left( {1 - 0} \right)\\{z_N} + 2 = \dfrac{3}{5}.\left( { - 1 + 2} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow N\left( {\dfrac{6}{5};\dfrac{3}{5};\dfrac{{ - 7}}{5}} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) có dạng \(ax + by + cz + 32 = 0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 32 = 0\\\dfrac{2}{5}a\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \dfrac{4}{5}c + 32 = 0\\\dfrac{6}{5}a + \dfrac{3}{5}b - \dfrac{7}{5}c + 32 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 42\\b = 5\\c = 61\end{array} \right.\).

\(S = a - b + c = 42 - 5 + 61 = 98\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.