Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = - 2x + m\) cắt đồ

Câu hỏi số 623843:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = - 2x + m\) cắt đồ thị \(\left( H \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\) tại hai điểm \(A,B\) phân biệt sao cho \(P = k_1^{2022} + k_2^{2022}\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \({k_1},{k_2}\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A,B\) của đồ thị \(\left( H \right)\).

A. \(m = - 2\).

B. \(m = 2\).

C. \(m = - 3\).

D. \(m = 3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623843

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Cô si.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm :

\(\dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}} = - 2x + m\,\,\left( {x \ne - 2} \right)\,\,\, \Leftrightarrow 2x + 3 = - 2{x^2} + mx - 4x + 2m \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0\).

Để đường thẳng \(y = - 2x + m\) cắt đồ thị \(\left( H \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\) tại hai điểm \(A,B\) phân biệt thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {6 - m} \right)^2} - 4.2.\left( {3 - 2m} \right) > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 12 > 0\): luôn đúng.

Khi đó, nghiệm \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm \(A,B\).

Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.\).

Ta có: \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}\\{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {k_1}{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + m - 6 + 4} \right)}^2}}} = 4\).

Khi đó: \(P = k_1^{2022} + k_2^{2022} \ge 2\sqrt {k_1^{2022}.k_2^{2022}} = 2\sqrt {{4^{2022}}} = {2.2^{2022}} = {2^{2023}}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \({k_1} = {k_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\,\,\left( L \right)\\{x_1} + {x_2} = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{m - 6}}{2} = - 4 \Leftrightarrow m = - 2\).

Vậy \({P_{\min }} = {2^{2023}}\) khi và chỉ khi \(m = - 2\).

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.