a) Cho các số thực \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2\). Chứng minh phương trình sau luôn

Câu hỏi số 624190:

Vận dụng cao

a) Cho các số thực \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2\). Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm \(\left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\)

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn phương trình \(\left( {x + y} \right){(2x + 3y)^2} + 2x + y + 2 = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624190

Giải chi tiết

a) Phương trình đã cho \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + ax + b = 0\left( 1 \right)}\\{{x^2} + cx + d = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có \({{\rm{\Delta }}_1} = {a^2} - 4b\) và \({{\rm{\Delta }}_2} = {c^2} - 4d\)

Giả sử hệ này vô nghiệm, khi đó cả hai phương trình (1), (2) đều vô nghiệm.

Tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }}\left( 1 \right) < 0}\\{{\rm{\Delta }}\left( 2 \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4b > {a^2}}\\{4d > {c^2}}\end{array} \Rightarrow b > 0;d > 0 \Rightarrow b + d > 0} \right.} \right.\).

Lúc này theo giả thiết thì \(\dfrac{{ac}}{{b + d}} \ge 2 \Rightarrow ac \ge 2\left( {b + d} \right)\).

Tuy nhiên điều này vô lý do \(2\left( {b + d} \right) > \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {c^2}} \right) \ge ac\).

Vậy với điều kiện đề cho thì pt \(\left( {{x^2} + ax + b} \right)\left( {{x^2} + cx + d} \right) = 0\) luôn có nghiệm

b) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = x + y}\\{b = 2x + 3y}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(2x + y + 2 = 4x + 4y - 2x - 3y + 2\)

\( = 4\left( {x + y} \right) - \left( {2x + 3y} \right) + 2 = 4a - b + 2\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right){(2x + 3y)^2} + 2x + y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow a{b^2} + 4a - b + 2 = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {{b^2} + 4} \right) = b - 2\\ \Rightarrow b - 2 \vdots {b^2} + 4\\ \Rightarrow \left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right) \vdots \left( {{b^2} + 4} \right)\\ \Rightarrow \left( {{b^2} + 4} \right) - \left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right):\left( {{b^2} + 4} \right)\\ \Rightarrow 8 \vdots \left( {{b^2} + 4} \right)\\ \Rightarrow \left( {{b^2} + 4} \right) \in \left\{ {4,8} \right\}\end{array}\)

Nếu \({b^2} + 4 = 4 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = - \dfrac{1}{2}}\\{2x + 3y = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \dfrac{3}{2}}\\{y = 1}\end{array}} \right.\) (loại)

Nếu \({b^2} + 4 = 4\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2 \Rightarrow a = 0}\\{b = - 2 \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

*) \(b = 2 \Rightarrow a = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 0}\\{2x + 3y = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.\) (nhận)

*) \(b = - 2 \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = - \dfrac{1}{2}}\\{2x + 3y = - 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\) (loại)

Vậy \(\left( { - 2;2} \right)\) thỏa mãn pt đã cho

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link