Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) và có ba đường cao

Câu hỏi số 624192:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) và có ba đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AH\) và \(BC\).

a) Chứng minh rằng \(IJ\) vuông góc với \(EF\) và \(IJ\) song song với \(OA\).

b) Gọi \(K,Q\) lần lượt là giao điểm của \(EF\) với \(BC\) và \(AD\). Chứng minh rằng \(\dfrac{{QE}}{{QF}} = \dfrac{{KE}}{{KF}}\).

c) Đường thẳng chứa tia phân giác của \(\angle {FHB}\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tia phân giác của \(\angle {CAB}\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN\) tại điểm \(P\) khác \(A\). Chứng minh ba điểm \(H,P,J\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624192

Giải chi tiết

a) \(IE = IF = \dfrac{1}{2}BC;JE = JF = \dfrac{1}{2}AH\)

\( \Rightarrow IJ\) là đường trung trực của \(EF\).

\( \Rightarrow IJ \bot EF\)

Kẻ đường kính \(AT\) của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow BHCT\) là hình bình hành

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HT\).

\( \Rightarrow IJ//AT\)

b) Các tứ giác \(BDHF,CDHE,BCEF\) là các tứ giác nội tiếp nên ta có \(\angle {EDH} = \angle {HCE} = \angle {HBF} = \angle {HDF}\)

và do \(HD \bot HK \Rightarrow DQ,DK\) là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác DEF .

Đến đây theo tính chất đường phân giác thì \(\dfrac{{QE}}{{QF}} = \dfrac{{KE}}{{KF}}\left( { = \dfrac{{DE}}{{DF}}} \right)\).

c) Ta có \(\angle {AMH} = \angle {MBH} + \angle {MHB} = \angle {NCH} + \angle {NHC} = \angle {HNA}\)

cân tại \(A\)

\( \Rightarrow AP\) là đường kính của \(\left( {AMN} \right)\)

\( \Rightarrow PM//HC,PN//HB\).

Gọi \(G\) là giao điểm của \(PM,HB\) và \(L\) là giao điểm của \(PN,HC\).

Khi đó tứ giác \(HGPL\) là hình bình hành

nên \(HP\) đi qua trung điểm \(R\) của \(GL\).

Đến đây sử dụng định lý Talet và tính chất đường phân giác ta được

\(\dfrac{{GH}}{{GB}} = \dfrac{{MF}}{{MB}} = \dfrac{{HF}}{{HB}}\)

\(\dfrac{{LH}}{{LC}} = \dfrac{{NE}}{{NC}} = \dfrac{{HE}}{{HC}}\)

Tuy nhiên hai tam giác \(HFB,HEC\) đồng dạng nên \(\dfrac{{HF}}{{HB}} = \dfrac{{HE}}{{HC}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{GH}}{{GB}} = \dfrac{{LH}}{{LC}} \Rightarrow GL//BC\)

Cho \(HR\) cắt \(BC\) tại \(I'\)

sử dụng định lý Talet thì \(\dfrac{{RG}}{{I'B}} = \dfrac{{AR}}{{AI'}} = \dfrac{{RL}}{{I'C}}\)

\( \Rightarrow I'B = I'C \Rightarrow I' \equiv I\) Vậy ba điểm \(H,P,I\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link