Cho tam giác \(ABC\) cố định có diện tích \(S\). Đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua trọng tâm
Cho tam giác \(ABC\) cố định có diện tích \(S\). Đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua trọng tâm của tam giác \(ABC\) cắt các cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(M,N\), Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABN\) và \(ACM\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \({S_1} + {S_2}\).
Quảng cáo
Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Ta có : \(\dfrac{{AM}}{{AB}} \cdot \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{{{S_{AMN}}}}{S} = \dfrac{{{S_{AMG}} + {S_{ANG}}}}{S}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{{S_{AMG}}}}{{{S_{ABD}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{{S_{ANG}}}}{{{S_{ACD}}}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{AM}}{{AB}} \cdot \dfrac{{AG}}{{AD}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{AN}}{{AC}} \cdot \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{AM}}{{AB}} + \dfrac{{AN}}{{AC}}} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3\)
Mà \(\dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S} = \dfrac{{{S_{ABN}} + {S_{ACM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} + \dfrac{{AM}}{{AB}}\)
\( \Rightarrow 3 \cdot \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S} = \left( {\dfrac{{AN}}{{AC}} + \dfrac{{AM}}{{AB}}} \right)\left( {\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}}} \right) \ge 4\)
\( \Rightarrow {S_1} + {S_2} \ge \dfrac{4}{3}S\)
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow d//BC\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({S_1} + {S_2}\) là \(\dfrac{4}{3}S\) khi \(d//BC\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
