Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 624697:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 3z + 4 = 0\) và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z - 7 = 0\), \(\left( Q \right):x - y + z + 1 = 0\). Khi đó \(d\) bằng

A. \(3\).

B. \(1\).

C. \( - 3\).

D. \( - 1\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z - 7 = 0\), \(\left( Q \right):x - y + z + 1 = 0\). Tìm \(M\) là 1 điểm thuộc \(\Delta \).

- Do \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 3z + 4 = 0\) và chứa giao tuyến \(\Delta \) nên \(\left( \alpha \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right]\).

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

- Xác định giá trị của d.

Giải chi tiết

\(\left( P \right):x + 3y + z - 7 = 0\), \(\left( Q \right):x - y + z + 1 = 0\)

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z - 7 = 0\), \(\left( Q \right):x - y + z + 1 = 0\).

Khi đó, \(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)\) (trong đó: \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;3;1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1; - 1;1} \right)\))

Lấy M là 1 điểm trên \(\Delta \), suy ra tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + z - 7 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}3y + z = 7\\ - y + z = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 1\end{array} \right.\, \Rightarrow \) Ta lấy điểm \(M\left( {0;2;1} \right)\).

Do \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 3z + 4 = 0\) và chứa giao tuyến \(\Delta \) nên \(\left( \alpha \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right] = \left( {1; - 2;1} \right)\) , (trong đó: \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;2;3} \right)\))

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z + 3 = 0 \Rightarrow d = 3\).

Xem lời giải

Câu hỏi:624697

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.