Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 1, tang góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và

Câu hỏi số 624698:

Vận dụng

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 1, tang góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABB’A’) bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

5

$5$ .

3

$3$ .

5 \sqrt{5}

$5\sqrt 5$ .

3 \sqrt{3}

$3\sqrt 3$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624698

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)$ :

- Tìm giao tuyến $\Delta$ của $\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)$ .

- Xác định 1 mặt phẳng $\left( \gamma \right) \bot \Delta$ .

- Tìm các giao tuyến $a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)$

- Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)$ : $\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)$

Giải chi tiết

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABB'A'} \right)$ .

Gọi I là hình chiếu của D lên A’B, O là tâm của hình vuông ABCD.

Do $DA \bot \left( {ABB'A'} \right),\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'B \Rightarrow \alpha = \widehat {DIA}$ .

Ta có: $\tan \alpha = 2 \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$ $\Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DI}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$ .

Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là x.

Ta có: $A'D = A'B = \sqrt {{x^2} + 1} ,BD = x\sqrt 2 ,A'O = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt 2 }}$ .

Diện tích tam giác A’BD:

$\dfrac{1}{2}A'O.BD = \dfrac{1}{2}DI.A'B \Rightarrow A'O.BD = DI.A'B \Rightarrow DI = \dfrac{{A'O.BD}}{{A'B}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} .x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ .

$\Rightarrow x:\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} .x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow x = \sqrt 3$ .

$\Rightarrow {S_{ABCD}} = 3 \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 3.1 = 3$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.