Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 1, tang góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và

Câu hỏi số 624698:

Vận dụng

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 1, tang góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABB’A’) bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

A. \(5\).

B. \(3\).

C. \(5\sqrt 5 \).

D. \(3\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Gọi I là hình chiếu của D lên A’B, O là tâm của hình vuông ABCD.

Do \(DA \bot \left( {ABB'A'} \right),\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'B \Rightarrow \alpha = \widehat {DIA}\).

Ta có: \(\tan \alpha = 2 \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DI}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Giả sử cạnh đáy của lăng trụ là x.

Ta có: \(A'D = A'B = \sqrt {{x^2} + 1} ,BD = x\sqrt 2 ,A'O = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt 2 }}\).

Diện tích tam giác A’BD:

\(\dfrac{1}{2}A'O.BD = \dfrac{1}{2}DI.A'B \Rightarrow A'O.BD = DI.A'B \Rightarrow DI = \dfrac{{A'O.BD}}{{A'B}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} .x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

\( \Rightarrow x:\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2} .x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 2}} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 3 \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 3.1 = 3\).

Xem lời giải

Câu hỏi:624698

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.