Giả sử hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( {\sin x + 1} \right) = \cos x\) với

Câu hỏi số 624699:

Vận dụng

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( {\sin x + 1} \right) = \cos x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), khi đó tích phân \(\int\limits_1^{\frac{3}{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\).

B. \( - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\).

C. \(\dfrac{\pi }{{12}} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

\(f\left( {\sin x + 1} \right) = \cos x \Rightarrow \cos x.f\left( {\sin x + 1} \right) = {\cos ^2}x\)

Tích phân hai vế với cận là 0 và \(\dfrac{\pi }{6}\).

Giải chi tiết

\(f\left( {\sin x + 1} \right) = \cos x \Rightarrow \cos x.f\left( {\sin x + 1} \right) = {\cos ^2}x\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\cos x\,f\left( {\sin x + 1} \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\cos }^2}x} dx\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {f\left( {\sin x + 1} \right)} d\left( {\sin x + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 + \cos 2x} \right)} dx\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^{\frac{3}{2}} {f\left( t \right)} dt = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x + \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{3}} \right) - \dfrac{1}{2}.0 = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\\ \Rightarrow \int\limits_1^{\frac{3}{2}} {f\left( x \right)} dx = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:624699

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.