Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}\dfrac{x}{4} + {\log _2}y = \dfrac{{4 -

Câu hỏi số 624700:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}\dfrac{x}{4} + {\log _2}y = \dfrac{{4 - x{y^2}}}{{{y^2}}}\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị \(\dfrac{x}{y}\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(\sqrt 2 \).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Với \(x,y > 0\), ta có: \(\dfrac{1}{2}{\log _2}\dfrac{x}{4} + {\log _2}y = \dfrac{{4 - x{y^2}}}{{{y^2}}} \Leftrightarrow {\log _2}x - 2 + {\log _2}{y^2} = \dfrac{8}{{{y^2}}} - 2x \Leftrightarrow {\log _2}x + 2x = 2 - {\log _2}{y^2} + \dfrac{8}{{{y^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x + 2x = {\log _2}\dfrac{4}{{{y^2}}} + \dfrac{8}{{{y^2}}}\) (*).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\,\,\left( {t > 0} \right)\): hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{{{y^2}}}\).

Xét \(P = x + 4y = \dfrac{4}{{{y^2}}} + 4y = \dfrac{4}{{{y^2}}} + 2y + 2y \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{4}{{{y^2}}}.2y.2y}} = 6\sqrt[3]{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{4}{{{y^2}}} = 2y \Leftrightarrow y = \sqrt[3]{2} \Rightarrow x = \dfrac{4}{{\sqrt[3]{4}}} = \sqrt[3]{{{4^2}}}\).

Vậy, \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(6\sqrt[3]{2}\) khi và chỉ khi \(x = \sqrt[3]{{{4^2}}},y = \sqrt[3]{2}\).

Khi đó: \(\dfrac{x}{y} = \)2.

Xem lời giải

Câu hỏi:624700

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.