Xét các số phức z, w, u thỏa mãn \(\left| z \right| = 1,\left| w \right| = 2,\left| u \right| = 3\) và

Câu hỏi số 624702:

Vận dụng cao

Xét các số phức z, w, u thỏa mãn \(\left| z \right| = 1,\left| w \right| = 2,\left| u \right| = 3\) và \(\left| {z + w - u} \right| = \left| {u + z - w} \right|\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {z - u} \right|\) bằng

A. \(\sqrt {10} \).

B. \(2\sqrt 3 \).

C. \(\sqrt {14} \).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Sử dụng hình học để giải. Chú ý:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} }}{{OM.ON}}\\\cos \widehat {MON} = \dfrac{{O{M^2} + O{N^2} - M{N^2}}}{{2OM.ON}}\end{array} \right.\,\\ \Rightarrow \dfrac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} }}{{OM.ON}} = \dfrac{{O{M^2} + O{N^2} - M{N^2}}}{{2OM.ON}}\\ \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = \dfrac{{O{M^2} + O{N^2} - M{N^2}}}{2}\end{array}\)

Giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, w, u. Ta có:

\(OM = 1,ON = 2,OP = 3\),\(\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {ON} } \right| = \left| {\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OP} } \right|\) và \(\left| {z - u} \right| = \left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {PM} } \right| = MP\).

Ta tìm Giá trị lớn nhất của MP:

Xét \(\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {ON} } \right| = \left| {\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OP} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {NP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {NP} } \right|\).

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {NP} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {NP} } \right|^2} \Leftrightarrow O{M^2} + 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {NP} + N{P^2} = O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {NP} + N{P^2} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {NP} = 0\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} .\left( {\overrightarrow {OP} - \overrightarrow {ON} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} \).

\( \Leftrightarrow O{M^2} + O{P^2} - M{P^2} = O{M^2} + O{N^2} - M{N^2} \Leftrightarrow M{P^2} = M{N^2} + 5 \le {\left( {OM + ON} \right)^2} + 5 = {\left( {1 + 2} \right)^2} + 5 = 14\).

\( \Rightarrow MP \le \sqrt {14} \Rightarrow \)\(\left| {z - u} \right|\)\( \le \sqrt {14} \).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi điểm O nằm trên đoạn thẳng MN.

Xem lời giải

Câu hỏi:624702

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.