Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 9{x^2}\) và \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + m\) (\(m\)

Câu hỏi số 624703:

Vận dụng cao

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 9{x^2}\) và \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + m\) (\(m\) là tham số). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đúng 6 điểm cực trị?

A. \(23\).

B. \(21\).

C. \(6\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Tìm m để \(h'\left( x \right) = 0\) có đúng 6 nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 18x\) và \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6x - 12\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right).g'\left( x \right)\).

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0\\f'\left( {g\left( x \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\\g\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\\2{x^3} - 3{x^2} - 12x + m = 0\\2{x^3} - 3{x^2} - 12x + m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\\2{x^3} - 3{x^2} - 12x = - m\,\,(1)\\2{x^3} - 3{x^2} - 12x = 3 - m\,\,(2)\end{array} \right.\) (*)

Xét hàm số \(k\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x,\,k'\left( x \right) = 6{x^2} - 6x - 12,\,k'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên của \(y = k\left( x \right)\) như sau:

Để hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đúng 6 điểm cực trị thì (*) có đúng 6 nghiệm bội lẻ phân biệt.

\( \Leftrightarrow \)(1) và (2) có 4 nghiệm bội lẻ phân biệt, khác -1 và 2.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - m + 3 > 7\\ - 20 < - m \le 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - m \le - 20\\ - 20 < - m + 3 < 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 7 < m \le - 4\\20 \le m < 23\end{array} \right.\).

Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4;20;21;22} \right\}\): 6 giá trị.

Xem lời giải

Câu hỏi:624703

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.