Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác ABC có A(3;4;4), B(1;2;3), C(5;0;-1). Điểm M thay đổi trong không

Câu hỏi số 624704:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác ABC có A(3;4;4), B(1;2;3), C(5;0;-1). Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn \(\angle ABM = \angle AMC = {90^0}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua B và vuông góc với AC cắt AM tại N. Khoảng cách từ N đến (ABC) có giá trị lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{{4\sqrt {10} }}{5}\).

B. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}\).

D. \(\dfrac{{6\sqrt {10} }}{5}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Chứng minh N nằm trên mặt cầu đường kính BK (K là hình chiếu của B lến AC).

Giải chi tiết

A(3;4;4), B(1;2;3), C(5;0;-1) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BA} = \left( {2;2;1} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 2; - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow AB \bot BC\).

Lại có: \(AB \bot BM \Rightarrow AB \bot \left( {BMC} \right)\).

Kẻ BK vuông góc AC tại K \( \Rightarrow K\) cố định.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MC \bot AM\\MC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow MC \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow MC \bot BN\).

Mà \(AM \bot BN \Rightarrow BN \bot \left( {AMC} \right) \Rightarrow BN \bot NK \Rightarrow \angle BNK = {90^0}\)

\( \Rightarrow N\) nằm trên mặt cầu đường kính BK cố định.

Dựng NH vuông góc \(\left( {ABC} \right)\), ta được: \(d\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right) = NH \le \dfrac{{BK}}{2}\).

Tam giác ABC vuông tại B, đường cao BK \( \Rightarrow BK = \dfrac{{BA.BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{3.6}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}\).

\( \Rightarrow d\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right) \le \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow d{\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right)_{\max }} = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}\) khi và chỉ khi H là trung điểm của BK.

Xem lời giải

Câu hỏi:624704

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.