Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \((0; + \infty )\) thoả mãn \(f(1) = 1\) và \({e^x}f'\left(

Câu hỏi số 624859:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \((0; + \infty )\) thoả mãn \(f(1) = 1\) và \({e^x}f'\left( {{e^x}} \right) = 1 + {e^x}\). Khi đó \(\int_1^e f (x){\rm{d}}x\) bằng

A. \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\).

B. \(\dfrac{{3{e^2} - 2}}{2}\).

C. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\).

D. \(\dfrac{{{e^2}}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624859

Phương pháp giải

Đặt \(t = {e^x}\), thay vào giả thiết \({e^x}f'\left( {{e^x}} \right) = 1 + {e^x}\) tìm f(t) và suy ra f(x).

Tính \(\int_1^e f (x){\rm{d}}x\), sử dụng tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {e^x}\) ta có:

\({e^x}f'\left( {{e^x}} \right) = 1 + {e^x} \Rightarrow tf'\left( t \right) = 1 + t \Leftrightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{t} + 1\).

\( \Rightarrow f\left( t \right) = \ln \left| t \right| + t + C\).

Thay t = 1 ta có \(f\left( 1 \right) = 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( t \right) = \ln \left| t \right| + t\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \ln x + x\,\,\left( {x > 0} \right)\\ \Rightarrow \int_1^e f (x){\rm{d}}x = \int\limits_1^e {\left( {\ln x + x} \right)dx} = \int\limits_1^e {\ln xdx} + \int\limits_1^e {xdx} \\ = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x.\dfrac{1}{x}dx} + \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^e\\ = e - \int\limits_1^e {dx} + \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\\ = e - \left. x \right|_1^e + \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\\ = e - e + 1 + \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\\ = \dfrac{{{e^2} + 1}}{2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.