Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\). Số hình vuông có bốn đỉnh nằm trên đồ thị hàm số \(y = f(x)\)

Câu hỏi số 624861:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\). Số hình vuông có bốn đỉnh nằm trên đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624861

Phương pháp giải

Chứng minh O là tâm đối xứng của hình vuông.

Gọi \(A\left( {a;{a^3} - 3a} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\). Tìm toạ độ điểm \(B = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right)\).

Thay toạ độ điểm B vào đồ thị hàm số, giải phương trình tìm a. Số nghiệm a chính bằng số hình vuông thoả mãn.

Giải chi tiết

Gọi hình vuông có bốn đỉnh nằm trên đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là ABCD.

Hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\) là hàm lẻ và nhận O là tâm đối xứng => O là tâm của hình vuông ABCD.

Gọi \(A\left( {a;{a^3} - 3a} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\).

Giả sử A ở vị trí như hình vẽ ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{a^3} - 3a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\a\left( {{a^2} - 3} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{a^2} - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\left[ \begin{array}{l}a > \sqrt 3 \\a < - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow a < - \sqrt 3 \).

Vì ABCD là hình vuông \( \Rightarrow B = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow B\left( {3a - {a^3};a} \right)\)

Vì B thuộc đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = {\left( {3a - {a^3}} \right)^3} - 3\left( {3a - {a^3}} \right)\\ \Leftrightarrow a = {a^3}{\left( {3 - {a^2}} \right)^3} - 3a\left( {3 - {a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2}{\left( {3 - {a^2}} \right)^3} - 3\left( {3 - {a^2}} \right) - 1 = 0\,\,\left( {do\,\,a < - \sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Đặt \(t = 3 - {a^2} < 0\), phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\left( {3 - t} \right){t^3} - 3t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3{t^3} - {t^4} - 3t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 2,41\,\,\left( {ktm} \right)\\t \approx 1,61\,\,\left( {ktm} \right)\\t \approx - 0,41\,\,\left( {tm} \right)\\t \approx - 0,61\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 hình vuông có bốn đỉnh nằm trên đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.