Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2), B(-2;0;3), C(0;1;-2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng \((Oxy)\)

Câu hỏi số 625756:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2), B(-2;0;3), C(0;1;-2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho biểu thức \(S = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(T = 12a + 12b + 2023c\) có giá trị là

A. \(T = - 1\).

B. \(T = 3\).

C. \(T = - 1\).

D. \(T = - 3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625756

Phương pháp giải

Gọi \(M(a;b;0) \in (Oxy)\).

Tính \(\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {MC} \).

Tính \(S = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \), đưa về dạng tổng các bình phương và đánh giá.

Giải chi tiết

Ta có \(M(a;b;0) \in (Oxy)\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = (1 - a; - 1 - b;2)\\\overrightarrow {MB} = ( - 2 - a; - b;3)\\\overrightarrow {MC} = ( - a;1 - b; - 2)\end{array} \right.\\\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = (1 - a)( - 2 - a) + ( - 1 - b)( - b) + 6 = {a^2} + a + {b^2} + b + 4\\\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} = ( - 2 - a)( - a) + ( - b)(1 - b) - 6 = {a^2} + 2a + {b^2} - b - 6\\\overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} = ( - a)(1 - a) + (1 - b)( - 1 - b) - 4 = {a^2} - a + {b^2} - 5\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}S = {a^2} + a + {b^2} + b + 4 + 2\left( {{a^2} + 2a + {b^2} - b - 6} \right) + 3\left( {{a^2} - a + {b^2} - 5} \right)\\S = 6{a^2} + 2a + 6{b^2} - b - 23 = 6{\left( {a + \dfrac{1}{6}} \right)^2} + 6{\left( {b - \dfrac{1}{{12}}} \right)^2} - \dfrac{{557}}{{24}} \ge - \dfrac{{557}}{{24}}\end{array}\)

Do đó \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất là \( - \dfrac{{557}}{{24}}\) khi \(a = - \dfrac{1}{6}\) và \(b = \dfrac{1}{{12}}\).

Vậy \(T = 12a + 12b + 2023c = - 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.