Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh \(BC = a\sqrt 2
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh \(BC = a\sqrt 2 \). Góc giữa mặt phẳng (AB’C) và mặt phẳng (BCC’B’) bằng \({60^0}\). Tính thể tích V của khối đa diện A’B’CA’C’.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Phân chia khối đa diện.
Gọi H là trung điểm của BC ta có
\(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AH \bot B'C\)
Trong \(\left( {A{B^\prime }C} \right)\) kẻ \(AD \bot B'C\)
\( \Rightarrow {B^\prime }C \bot (AHD) \Rightarrow {B^\prime }C \bot HD\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = B'C\\\left( {AB'C} \right) \supset AD \bot B'C \Rightarrow \left( {AB'C} \right);\left( {BCC'B'} \right) = (AD;HD) = \angle ADH\\\left( {BCC'B'} \right) \supset HD \bot B'C\end{array} \right.\)
Do tam giác ABC vuông cân và AH là đường trung tuyến nên \(AH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trong tam giác AHD có \(HD = AH.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Dễ thấy \(\Delta CBB'\) đồng dạng với \(\Delta CDH\,\,(\;{\rm{g}}.{\rm{g}})\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BB'}}{{HD}} = \dfrac{{CB'}}{{CH}} \Rightarrow \dfrac{{BB'}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}}} = \dfrac{{\sqrt {2{a^2} + BB{'^2}} }}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 BB' = \sqrt {2{a^2} + BB{'^2}} \Leftrightarrow 2BB{'^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow BB' = a\end{array}\)
Trong tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow AB = AC = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\).
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{ABC \cdot A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a \cdot \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).
Ta có \({V_{AB'CA'C'}} + {V_{B'.ABC}} = {V_{ABC.A'B'C'}}\)
\( \Rightarrow {V_{AB'CA'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'.ABC}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\).
Vậy \({V_{AB'CA'C'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a^3}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{3}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
