Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \((C)\). Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh

Câu hỏi số 625763:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \((C)\). Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh của (C) và các tuyến tiếp của (C) tại A, B cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của (C) lần lượt tại các điểm M ,N, P, Q. Diện tích tứ giác MNPQ có giá trị nhỏ nhất bằng?

A. 8

B. 16

C. 4

D. 32

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625763

Giải chi tiết

Ta có đồ thị (C) của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận ngang \(y = 1\).

Gọi \(A\left( {a;\dfrac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right),B\left( {b;\dfrac{{b + 1}}{{b - 1}}} \right)\,\,(a < 1 < b)\) là hai điểm thuộc đồ thị (C).

Ta có phương trình tiếp tuyến tại A và B lần lượt là

\({d_1}:y = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(x - a) + \dfrac{{a + 1}}{{a - 1}}\) và \({d_2}:y = \dfrac{{ - 2}}{{{{(b - 1)}^2}}}(x - b) + \dfrac{{b + 1}}{{b - 1}}\)

Thay \(y = 1\) vào \({d_1}\) ta có \(1 = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(x - a) + \dfrac{{a + 1}}{{a - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(x - a) \Leftrightarrow x = 2a - 1\)

Thay \(x = 1\) vào \({d_1}\) ta có \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(1 - a) + \dfrac{{a + 1}}{{a - 1}} = \dfrac{2}{{a - 1}} + \dfrac{2}{{a - 1}} + 1 = \dfrac{4}{{a - 1}} + 1\)

Giao điểm của \({d_1}\) với đường thẳng y = 1 là \(M(2a - 1;1)\)

Giao điểm của \({d_1}\) với đường thẳng x = 1 là \(N\left( {1;\dfrac{4}{{a - 1}} + 1} \right)\).

Thay y = 1 vào \({d_1}\) ta có \(1 = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(x - a) + \dfrac{{a + 1}}{{a - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(x - a) \Leftrightarrow x = 2a - 1\)

Thay x = 1 vào \({d_1}\) ta có \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{(a - 1)}^2}}}(1 - a) + \dfrac{{a + 1}}{{a - 1}} = \dfrac{2}{{a - 1}} + \dfrac{2}{{a - 1}} + 1 = \dfrac{4}{{a - 1}} + 1\)

Giao điểm của \({d_1}\) với đường thẳng \(y = 1\) là \(M(2a - 1;1)\)

Giao điểm của \({d_1}\) với đường thẳng \(x = 1\) là \(N\left( {1;\dfrac{4}{{a - 1}} + 1} \right)\)

Giao điểm của \({d_2}\) với đường thẳng \(y = 1\) là \(P(2b - 1;1)\)

Giao điểm của \({d_2}\) với đường thẳng \(x = 1\) là \(Q\left( {1;\dfrac{4}{{b - 1}} + 1} \right)\)

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ vuông góc nên \({S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MP.NQ\).

Ta có \( = \dfrac{1}{2}MP.NQ = (b - a)\left[ {\dfrac{4}{{b - 1}} - \dfrac{4}{{a - 1}}} \right] = (b - a)\left[ {\dfrac{4}{{b - 1}} + \dfrac{4}{{1 - a}}} \right] \ge (b - a)\dfrac{{16}}{{b - a}} = 16\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b - 1 = 1 - a}\\{(b - a)\left[ {\dfrac{4}{{b - 1}} - \dfrac{4}{{a - 1}}} \right] = 16}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.