Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right).\) Qua

Câu hỏi số 625844:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right).\) Qua điểm \(A\) dựng hai tiếp tuyến \(AM,AN\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) với \(M,N\) là các tiếp điểm. Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) \((AB < AC,\) đường thẳng \(d\) không đi qua tâm \(O)\)

a) Chứng minh tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(A{N^2} = AB.AC\)

c) Hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh rằng điểm \(K\) luôn thuộc một đường thẳng cố định khi đường thẳng \(d\) thay đổi và đường thẳng \(d\) thỏa mãn điều kiện đề bài

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:625844

Phương pháp giải

Sử dụng các quan hệ về góc nội tiếp, tính chất tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp

Giải chi tiết

a) Vì \(AM,AN\) là tiếp tuyến tại M, N của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \angle {AMO} = \angle {ANO} = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AMON\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO(dfcm)\)

b) Dễ chứng mnh \(\Delta AMO = \Delta ANO\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)\( \Rightarrow AM = AN\)

Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta ANC\) ta có:

\(\angle {BAN} & chung;\,\angle {BNA} = \angle {BCN} = \angle {NCA}\) (tính chất góc tạo bởi tiêp tuyến dây cung)

Suy ra \(\Delta ABN \sim \Delta ANC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AN}}{{AC}}\) \( \Rightarrow AB.AC = A{N^2}(dfcm)\)

c) Gọi \(KM\) cắt (O) tại \(N'\)

Vì tứ giác \(MBN'C\) nội tiếp \( \Rightarrow \Delta KBN' \sim \Delta KMB \Rightarrow KN'.KM = K{B^2}\)

Gọi \(KO\) cắt \(BC\) tại \(E\)

Dễ thấy \(\angle {OEA} = {90^0} = \angle {ONA} = \angle {OMA} \Rightarrow 5\) điểm \(O,M,N,E,A\) cùng thuộc một đường tròn (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta KBO\) vuôn tại B, đường cao \(BE,\) ta có:

\(KE.KO = K{B^2} = KN'.KM \Rightarrow \Delta KN'E \sim \Delta KOM\)

\( \Rightarrow \angle {OM'N} = \angle OMK = \angle N'EK = {180^0} - \angle {OEN'}\) \( \Rightarrow \angle {OMN'} + \angle {OEN'} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(MOEN'\) nội tiếp hay 5 điểm \(M,O,E,N',A\) cùng thuộc một đường tròn, kết hợp với (1) suy ra \(N \equiv N'\) hay \(K \in MN\) cố định

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link