Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 627558:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f\left( x \right).\cot x + 2x.\sin x\). Biết \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\). Tính \(f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\).

A. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{36}}\).

B. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{80}}\).

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{54}}\).

D. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{72}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627558

Phương pháp giải

- Biến đổi tìm hàm số \(f\left( x \right)\)

- Tính \(f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = f\left( x \right).\cot x + 2x.\sin x\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = f\left( x \right).\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + 2x.\sin x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).\sin x - f\left( x \right).\cos x}}{{{{\sin }^2}\left( x \right)}} = 2x\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right)^\prime } = 2x\\ \Rightarrow \smallint {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right)^\prime }dx = \int {2xdx} \\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}} = {x^2} + Cf\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + C \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}} = {x^2}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2}.\sin x\\ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{72}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.