Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \(m\left( {{e^x} - 1} \right).\ln (mx + 1) + 2{e^x} =
Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) để phương trình \(m\left( {{e^x} - 1} \right).\ln (mx + 1) + 2{e^x} = {e^{2x}} + 1\)có \(2\) nghiệm phân biệt không lớn hơn 5.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Đưa về phương trình tích
- Biện luận phương trình tìm \(m\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}m\left( {{e^x} - 1} \right).\ln (mx + 1) + 2{e^x} = {e^{2x}} + 1\\ \Leftrightarrow m\left( {{e^x} - 1} \right)\ln \left( {mx - 1} \right) - {\left( {{e^x} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{e^x} - 1} \right)\left[ {m\ln \left( {mx + 1} \right) - \left( {{e^x} - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} - 1 = 0\\m\ln \left( {mx + 1} \right) - \left( {{e^x} - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\m\ln \left( {mx + 1} \right) + 1 = {e^x}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì (*) có nghiệm duy nhất khác 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 5
Đặt \(t = \ln \left( {mx + 1} \right) \Rightarrow mx + 1 = {e^x}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 1 = {e^t}\\mt + 1 = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow {e^x} + mx = {e^t} + mt\,\,\left( {**} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {e^u} + mu,\,\,u \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(f'\left( u \right) = {e^u} + m > 0,\,\,\forall u \in \mathbb{R},\,\,m \in \mathbb{N}*\)
Khi đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow x = t \Leftrightarrow {e^x} - mx - 1 = 0\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {e^x} - mx - 1,\,\,g'\left( x \right) = {e^x} - m\)
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln m\)
Nếu \(m = 1\) loại
Nếu \(m > 1\) ta có bảng biến thiên
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(g\left( 5 \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{e^5} - 1}}{5}\)
Mà \(m \in \mathbb{N}*,\,\,m > 1 \Rightarrow m \in \left\{ {2;3; \ldots ;29} \right\}\)
Vậy có 28 giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
