Tìm m nguyên để \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2m - 1 <

Câu hỏi số 627956:

Vận dụng cao

Tìm m nguyên để \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2m - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627956

Phương pháp giải

TH1: \({m^2} - 1 = 0\).

TH2: \({m^2} - 1 \ne 0\). Sử dụng tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

TH1: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Với m = 1 ta có:

\(f\left( x \right) = - 3 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) => m = 1 thoả mãn.

Với m = -1 ta có:

\(f\left( x \right) = - 2x + 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (Vô lí) => m = -1 không thoả mãn.

TH2: \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2m - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right)\left( { - 2m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( { - 2m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\left( {m - 1} \right)\left[ {m - 1 - 4\left( {m + 1} \right)\left( { - 2m - 1} \right)} \right] < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\left( {m - 1} \right)\left[ {m - 1 - 4\left( { - 2{m^2} - 3m - 1} \right)} \right] < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} + 13m + 3} \right) < 0\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( m \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} + 13m + 3} \right)\) ta có \(g\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ - 13 \pm \sqrt {73} }}{{16}}\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu g(m):

\( \Rightarrow g\left( m \right) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 13 - \sqrt {73} }}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}};1} \right)\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 13 - \sqrt {73} }}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}};1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {\dfrac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}};1} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0.\)

Vậy m = 0.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10