Tìm m nguyên để \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2m - 1 <

Câu hỏi số 627956:

Vận dụng cao

Tìm m nguyên để \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2m - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627956

Phương pháp giải

TH1: \({m^2} - 1 = 0\).

TH2: \({m^2} - 1 \ne 0\). Sử dụng tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

TH1: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

Với m = 1 ta có:

\(f\left( x \right) = - 3 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) => m = 1 thoả mãn.

Với m = -1 ta có:

\(f\left( x \right) = - 2x + 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (Vô lí) => m = -1 không thoả mãn.

TH2: \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 2m - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right)\left( { - 2m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( { - 2m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\left( {m - 1} \right)\left[ {m - 1 - 4\left( {m + 1} \right)\left( { - 2m - 1} \right)} \right] < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\left( {m - 1} \right)\left[ {m - 1 - 4\left( { - 2{m^2} - 3m - 1} \right)} \right] < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\\left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} + 13m + 3} \right) < 0\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( m \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} + 13m + 3} \right)\) ta có \(g\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ - 13 \pm \sqrt {73} }}{{16}}\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu g(m):

\( \Rightarrow g\left( m \right) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 13 - \sqrt {73} }}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}};1} \right)\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 13 - \sqrt {73} }}{{16}}} \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}};1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {\dfrac{{ - 13 + \sqrt {73} }}{{16}};1} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0.\)

Vậy m = 0.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.