Biết hàm số \(y = \sqrt {{{\sin }^2}x + 2\sin x + 2} + \sqrt {{{\sin }^2}x - 4\sin x + 13} \) đạt giá

Câu hỏi số 628696:

Vận dụng

Biết hàm số \(y = \sqrt {{{\sin }^2}x + 2\sin x + 2} + \sqrt {{{\sin }^2}x - 4\sin x + 13} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\sin x = \dfrac{a}{b}\)

( \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a,b\) là các số nguyên; \(b > 0\)). Tính \({a^3} + {b^2}\).

A. 65.

B. 15.

C. 3.

D. 17.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628696

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + x} \right)}^2} + {{\left( {b + y} \right)}^2}} \), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \sqrt {{{\sin }^2}x + 2\sin x + 2} + \sqrt {{{\sin }^2}x - 4\sin x + 13} \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{{\left( {\sin x - 2} \right)}^2} + 9} \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - \sin x} \right)}^2} + {3^2}} \\ \ge \sqrt {{{\left( {\sin x + 1 + 2 - \sin x} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2}} = 5\end{array}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{\sin x + 1}}{1} = \dfrac{{2 - \sin x}}{3}\)

\( \Leftrightarrow 4\sin x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{4}\)

Suy ra: \(y = \sqrt {{{\sin }^2}x + 2\sin x + 2} + \sqrt {{{\sin }^2}x - 4\sin x + 13} \) đạt giá trị nhỏ nhất là 5 khi \(\sin x = \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow {a^3} + {b^2} = {1^3} + {4^2} = 17\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.