Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x

Câu hỏi số 628715:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 4x + 4,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 5\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\).

A. \(\dfrac{{35}}{4}\).

B. \(\dfrac{{131}}{4}\).

C. \(\dfrac{{203}}{4}\).

D. \(\dfrac{{125}}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628715

Phương pháp giải

\(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 4x + 4,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right) = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x},\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)^\prime } = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x},\forall x \in \mathbb{R}\).

Nguyên hàm 2 vế, giải tìm hàm số \(f\left( x \right)\). (Sử dụng công thức từng phần).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) + f'\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 4x + 4,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow {e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right) = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x},\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\left( {{e^x}f\left( x \right)} \right)^\prime } = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x},\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {e^x}f\left( x \right) = \int {\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x}dx = } \int {\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right)d\left( {{e^x}} \right)} \\ & = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x} - \int {{e^x}d\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right)} \\ & = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x} - \int {\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right){e^x}dx} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} & = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x} - \left( {3{x^2} + 6x - 4} \right){e^x} + \int {{e^x}d\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right)} \\ & = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x} - \left( {3{x^2} + 6x - 4} \right){e^x} + \int {\left( {6x + 6} \right){e^x}dx} \\ & = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x} - \left( {3{x^2} + 6x - 4} \right){e^x} + \left( {6x + 6} \right){e^x} - \int {{e^x}d\left( {6x + 6} \right)} \\ & = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4x + 4} \right){e^x} - \left( {3{x^2} + 6x - 4} \right){e^x} + \left( {6x + 6} \right){e^x} - 6{e^x} + C\\ & = \left( {{x^3} - 4x + 8} \right){e^x} + C\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {{x^3} - 4x + 8} \right) + \dfrac{C}{{{e^x}}}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 5 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \)\({x^3} - 4x + 8 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4\).

Giải phương trình : \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 4x + 8 = 3{x^2} - 4\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Diện tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f(x) - f'(x)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12} \right|dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12} \right)dx} - \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12} \right)dx} = \dfrac{{131}}{4}\end{array}\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.