Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(x > y > 1\). Biểu thức \(A = \log _{\dfrac{x}{y}}^2{x^3} +

Câu hỏi số 628819:

Vận dụng

Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(x > y > 1\). Biểu thức \(A = \log _{\dfrac{x}{y}}^2{x^3} + \dfrac{8}{3}{\log _y}\left( {\dfrac{x}{y}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

A. \(x = {y^4}\).

B. \(x = y\).

C. \({x^4} = y\).

D. \(x = 4y\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628819

Phương pháp giải

Phân tích đưa biểu thức A chỉ phụ thuộc \({\log _x}y\).

Đặt \({\log _x}y = t\), tìm khoảng giá trị của t.

Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của hàm số trên khoảng cho trước.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A = \log _{\dfrac{x}{y}}^2{x^3} + \dfrac{8}{3}{\log _y}\left( {\dfrac{x}{y}} \right)\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{{{{\left[ {{{\log }_{{x^3}}}\dfrac{x}{y}} \right]}^2}}} + \dfrac{8}{3}\left( {{{\log }_y}x - {{\log }_y}y} \right)\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{9}{{\left( {{{\log }_x}x - {{\log }_x}y} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{3}\left( {{{\log }_y}x - {{\log }_y}y} \right)\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{9}{{{{\left( {1 - {{\log }_x}y} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{3}\left( {{{\log }_y}x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{9}{{{{\left( {1 - {{\log }_x}y} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{{3{{\log }_x}y}} - \dfrac{8}{3}\end{array}\)

Đặt \({\log _x}y = t\,\,\left( {{{\log }_x}y > {{\log }_x}1 = 0 \Rightarrow t > 0} \right.\) và \(\left. {x > y \Rightarrow {{\log }_x}x > {{\log }_x}y \Rightarrow 1 > t} \right)\)

Suy ra \(0 < t < 1\).

Khi đó \(A\) trở thành: \(A = \dfrac{9}{{{{(1 - t)}^2}}} + \dfrac{8}{{3t}} - \dfrac{8}{3} = f(t)\)

Xét hàm số \(f(t) = \dfrac{9}{{{{(t - 1)}^2}}} + \dfrac{8}{{3t}} - \dfrac{8}{3}\) có \({f^\prime }(t) = - \dfrac{{2.9}}{{{{(t - 1)}^3}}} - \dfrac{8}{{3{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \dfrac{1}{4}{\rm{ (tm) }}}\\{t = - 2\quad {\rm{ (loai }})}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.