Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6\left( {{m^2} + m} \right)x + 2050\)

Câu hỏi số 628927:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6\left( {{m^2} + m} \right)x + 2050\) với \(m\) là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. Vô số.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628927

Phương pháp giải

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6\left( {{m^2} + m} \right)\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6\left( {{m^2} + m} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\end{array}\)

Xét \(g\left( x \right) = {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m\) ta có \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + m} \right) = 1 > 0\) nên g(x) có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1\\{x_2} = \dfrac{{2m + 1 - 1}}{2} = m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow m \le x \le m + 1\)

Do đó \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) \( \Rightarrow m \le \dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{3} \le m + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{3}\\m \ge - \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le m \le \dfrac{1}{3}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.