Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( x \right) > -

Câu hỏi số 629140:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( x \right) > - 1,\,\,f\left( 0 \right) = 0\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \). Khi đó \(\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {f'\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(3\).

B. \(8\).

C. \( - 1\).

D. \(6\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629140

Phương pháp giải

- Biến đổi về dạng \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

- Lấy nguyên hàm hai vế tìm được \(f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Rightarrow \left( {\sqrt {f\left( x \right) + 1} } \right)' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\\ \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} + C\end{array}\)

Do \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2}\) .

Ta có: \(\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^{2\sqrt 2 } = 8\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.