Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh là tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), (\(A,\,\,B\) thuộc đường
Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh là tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), (\(A,\,\,B\) thuộc đường tròn đáy). Biết tam giác \(SAB\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(2\sqrt 5 - \sqrt {10} \), đường cao \(SO\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng công thức \({S_{SAB}} = p.r = \dfrac{1}{2}SA.SB\), với p là nửa chu vi tam giác SAB, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB, từ đó tính được SA, SB, AB.
Xác định góc giữa SO và (SAB) là góc giữa SO và hình chiếu vuông góc của SO lên (SAB). Từ đó tính SO.
Tính diện tích xung quanh \(S = \pi Rl\).
Gọi p là nửa chu vi tam giác SAB.
Tam giác SAB vuông cân tại S nên \(AB = SA\sqrt 2 \) \( \Rightarrow p = \dfrac{{SA + SB + SA\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có: \({S_{SAB}} = p.\left( {2\sqrt 5 - \sqrt {10} } \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2}SA.SB = \dfrac{{SA + SB + SA\sqrt 2 }}{2}.\left( {2\sqrt 5 - \sqrt {10} } \right)\).
Đặt độ dài đường sinh hình nón là \(l\) ta có:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}{l^2} = \dfrac{{l + l + l\sqrt 2 }}{2}.\left( {2\sqrt 5 - \sqrt {10} } \right)\\ \Rightarrow l = 2\sqrt 5 \Rightarrow AB = l\sqrt 2 = 2\sqrt {10} \end{array}\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Do đó \(OI \bot AB\).
Mà \(SI \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SOI} \right)\)
Kẻ \(OK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\), suy ra \(OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SO,SK} \right) = \angle KSO\).
Theo giả thiết \(\angle KSO = {30^0}\).
Xét tam giác vuông SOI ta có: \(\sin {30^0} = \dfrac{{OI}}{{SI}} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} }}{{\sqrt {{l^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} }} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - 10} }}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\)
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là \(S = \pi Rl = \pi .\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}.2\sqrt 5 = 5\sqrt {10} \pi \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
