Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh là tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), (\(A,\,\,B\) thuộc đường

Câu hỏi số 629148:

Vận dụng

Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh là tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), (\(A,\,\,B\) thuộc đường tròn đáy). Biết tam giác \(SAB\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(2\sqrt 5 - \sqrt {10} \), đường cao \(SO\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. \(5\sqrt {10} \pi \).

B. \(4\sqrt {15} \pi \).

C. \(5\sqrt 2 \pi \).

D. \(2\sqrt 5 \pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629148

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({S_{SAB}} = p.r = \dfrac{1}{2}SA.SB\), với p là nửa chu vi tam giác SAB, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB, từ đó tính được SA, SB, AB.

Xác định góc giữa SO và (SAB) là góc giữa SO và hình chiếu vuông góc của SO lên (SAB). Từ đó tính SO.

Tính diện tích xung quanh \(S = \pi Rl\).

Giải chi tiết

Gọi p là nửa chu vi tam giác SAB.

Tam giác SAB vuông cân tại S nên \(AB = SA\sqrt 2 \) \( \Rightarrow p = \dfrac{{SA + SB + SA\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có: \({S_{SAB}} = p.\left( {2\sqrt 5 - \sqrt {10} } \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2}SA.SB = \dfrac{{SA + SB + SA\sqrt 2 }}{2}.\left( {2\sqrt 5 - \sqrt {10} } \right)\).

Đặt độ dài đường sinh hình nón là \(l\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}{l^2} = \dfrac{{l + l + l\sqrt 2 }}{2}.\left( {2\sqrt 5 - \sqrt {10} } \right)\\ \Rightarrow l = 2\sqrt 5 \Rightarrow AB = l\sqrt 2 = 2\sqrt {10} \end{array}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Do đó \(OI \bot AB\).

Mà \(SI \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SOI} \right)\)

Kẻ \(OK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\), suy ra \(OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SO,SK} \right) = \angle KSO\).

Theo giả thiết \(\angle KSO = {30^0}\).

Xét tam giác vuông SOI ta có: \(\sin {30^0} = \dfrac{{OI}}{{SI}} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} }}{{\sqrt {{l^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} }} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - 10} }}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là \(S = \pi Rl = \pi .\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}.2\sqrt 5 = 5\sqrt {10} \pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.