Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 8\).a) Viết phương

Câu hỏi số 629286:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 8\).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm có hoành độ bằng 3 .

b) Xét các đường thẳng \(\Delta :2mx + (m - 1)y + 3m - 1 = 0\) (m là tham số thực) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B. Biết \(I\) là tâm của đường tròn \((C)\), tính diện tích tam giác IAB khi AB nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629286

Phương pháp giải

a) Gọi M là điểm có hoành độ bằng 3. Thay x = 3 tìm toạ độ điểm M.

Đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M đi qua M và có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} \).

b) Tìm điểm N cố định thuộc đường thẳng \(\Delta \).

AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất. IH_max= IN.

Giải chi tiết

a) Gọi M là điểm có hoành độ bằng 3.

Thay x = 3 ta có \({2^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 2 = 2\\y + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;0} \right)\\M\left( {3; - 4} \right)\end{array} \right.\)

Đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 8\) có tâm I(1;-2), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

TH1: M(3;0).

=> Tiếp tuyến đi qua M(3;0) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right)\).

=> Phương trình tiếp tuyến \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\)

TH2: M(3;-4).

=> Tiếp tuyến đi qua M(3;-4) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} = \left( {2; - 2} \right) = 2\left( {1; - 1} \right)\).

=> Phương trình tiếp tuyến \(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 7 = 0.\)

Ta có: \(\Delta :2mx + (m - 1)y + 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {2x + y + 3} \right) - y - 1 = 0\).

Xét \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 3 = 0\\ - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\).

Suy ra đường thẳng \(\Delta \) luôn đi qua điểm N(-1;-1).

Ta có \(IN = \sqrt 5 < R\) nên M nằm trong đường tròn (C) \( \Rightarrow \Delta \) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng \(\Delta \).

Ta có: \(AB = 2AH = 2\sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {8 - I{H^2}} \).

=> AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất.

Lại có \(IH \le IN \Rightarrow I{H_{\max }} = IN = \sqrt 5 \). Khi đó \(AB = 2\sqrt {8 - 5} = 2\sqrt 3 \).

Vậy khi đó \({S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = \dfrac{1}{2}.\sqrt 5 .2\sqrt 3 = \sqrt {15} .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10