Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn [1;e] và thỏa mãn \(f(1) = 0\), \(\left[ {f'(x) - 1} \right]x

Câu hỏi số 631131:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn [1;e] và thỏa mãn \(f(1) = 0\), \(\left[ {f'(x) - 1} \right]x = f(x),\forall x \in [1;e]\). Tích phân \(\int\limits_1^e {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\).

B. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\).

C. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\).

D. \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:631131

Phương pháp giải

Biến đổi \(\left[ {f'(x) - 1} \right]x = f(x),\forall x \in [1;e]\), lấy nguyên hàm hai vế tìm f(x).

Sử dụng tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left[ {f'(x) - 1} \right]x = f(x) \Leftrightarrow f'(x)x - f(x) = x\\ \Rightarrow \dfrac{1}{x}f'(x) + \dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}f(x) = \dfrac{1}{x}\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{1}{x}f(x)} \right]' = \dfrac{1}{x}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}f(x) = \ln x + C\,\,\left( {do\,\,x \in \left[ {1;e} \right]} \right)\\Thay\,\,x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = C = 0\\ \Rightarrow \dfrac{1}{x}f\left( x \right) = \ln x \Rightarrow f\left( x \right) = x\ln x\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int_1^e f (x){\rm{d}}x = \int_1^e x \ln x\;{\rm{d}}x = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^e - \int_1^e {\dfrac{x}{2}} \;{\rm{d}}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left( {\dfrac{{{e^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.