Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực y lớn hơn 1 thỏa mãn \(\left( {x{y^2} + x -

Câu hỏi số 631132:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực y lớn hơn 1 thỏa mãn \(\left( {x{y^2} + x - 2y - 1} \right)\log y = \log \dfrac{{2y - x + 3}}{x}\).

A. 3.

B. 1.

C. vô số.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:631132

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y - x + 3 > 0}\\{y > 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y < 3}\\{y > 1}\\{x \ge 1}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( {x{y^2} + x - 2y - 1} \right)\log y = \log \dfrac{{2y - x + 3}}{x}\\ \Leftrightarrow \left( {x{y^2} + x - 2y - 1} \right)\log y - 2\log y = \log \dfrac{{2y - x + 3}}{x} - 2\log y\\ \Leftrightarrow \left( {x{y^2} + x - 2y - 3} \right)\log y = \log \dfrac{{2y - x + 3}}{{x{y^2}}}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = x{y^2}}\\{b = 2y - x + 3}\end{array}(a,b > 0)} \right.\) ta có:

\((a - b)\log y = \log \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow (a - b)\log y + \log \dfrac{a}{b} = 0\).

Nếu \(a > b\) thì \((a - b)\log y + \log \dfrac{a}{b} > 0,a < b\) thì \((a - b)\log y + \log \dfrac{a}{b} < 0\).

\( \Rightarrow (a - b)\log y + \log \dfrac{a}{b} = 0 \Leftrightarrow a = b \Leftrightarrow x{y^2} = 2y - x + 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2y + 3}}{{{y^2} + 1}}{\rm{. }}\)

Xét hàm số \(f(y) = \dfrac{{2y + 3}}{{{y^2} + 1}}\) với \(y > 1\). Ta có \({f^\prime }(y) = \dfrac{{ - 2{y^2} - 6y + 2}}{{{{\left( {{y^2} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall y > 1\).

Nên \(f(y)\) nghịch biến trên \((1; + \infty )\).

Bảng biến thiên:

Để tồn tại số thực y lớn hơn 1 thì \(0 < x < \dfrac{5}{2} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.